BLOQUE VIII LEY SENOS Y COSENOS

MATEMATICAS II

Planeación de Bloque VIII:

Se iniciará trabajando en equipos

Nota.- En cada clase el docente te dará imágenes para tu trabajo.

DIA 1:

1. Por medio de lluvia de ideas determina que tipo de triángulo representa cada una de las figuras, indica en el interior la letra R si es rectángulo, u O si es oblicuángulo. El la parte inferior de la sección justifica tu respuesta.

2. Partiendo de que la solución de un triángulo rectángulo se obtiene mediante el teorema de Pitágoras y funciones trigonometricas.

¿Que harías en el caso de tener un triángulo oblicuángulo?

¿Conoces alguna ley o teorema que solucione este tipo de triángulos? Enúnciala:

3. De los siguientes casos que se te presentaran, enuncia la ley en la cual te apoyas para resolverlos.

 Utiliza la Ley de los Senos cuando están relacionados lados y ángulos opuestos en un triángulo oblicuángulo.

 Utiliza la Ley de los Cosenos cuando, en un triángulo oblicuángulo, están involucrados los tres lados o bien dos de ellos y el ángulo comprendido.

• Si calculáramos los lados y ángulos que faltan en el siguiente triángulo.            

                                                                                       

           A= 45⁰,   B= 75⁰, c= 4.75

• En el siguiente caso conocemos el ángulo de elevación del carro al globo, la distancia entre el carro y la golfista y el ángulo de elevación de la golfista al globo, asigna las siguientes letras según lo anterior A; C

 ¿Qué ley utilizarías?

• ¿Qué ley aplicarías si tienes los datos siguientes para el parque y necesitas calcular la distancia faltante?

• Un lote triangular tiene de frente 40 y 70 metros en dos calles, y el tercer lado es de 60 metros de longitud. Si tenemos la siguiente pregunta: ¿Qué ángulos forman las calles en la intersección A? Escribe la ley que usarías.

                                    

4. CONCLUYE QUE LEY UTILIZAS EN LOS SIGUIENTES CASOS PARA OBTENER LOS DATOS FALTANTES DE LOS TRIÁNGULOS:

a)      Si tienes dos ángulos y el lado adyacente entre ellos ________________________________________________________________

b)      Si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos ________________________________________________________________

c)       Si se te dieran los tres lados

      ________________________________________________________________

Tarea: Investigar Ley de Senos y Cósenos y en que casos se usan.

5. Traer COLAGE donde se vean algunas aplicaciones de Triángulos.

LEY DE LOS SENOS Y COSENOS

I. Ley de Senos:      a        =       b           ,           c       =        a             ,         b         =        c          

                              Sen A         Sen B               Sen C       Sen A                 Sen B           Sen C

II. Ley de Cósenos:  Cos A = b² + c² – a²        Cos B = a² + c² –b²             Cos C = a² + b² – c²

                                                      2bc                                       2ac                                       2ab

             a² = b²+c²-2bc Cos A                 b²= a² +c²-2ac Cos B              c²= a²+b²- 2ab Cos C

APLICACIÓN DE LA LEY DE SENOS Y COSENOS:

En cuaderno se hacen ejercicios.

Tomando en cuenta que los problemas a resolver se hacen ya en el equipo que trabajará el proyecto que al final presentarán con aplicaciones directas de su entorno y en donde todos participarán activamente.

Los organizan equipos de la siguiente manera: se eligen a doce alumnos que sean guías, estos van eligiendo de uno a uno hasta lograr integrar pequeños grupos de cuatro. El objetivo es que todos se apoyen entre sí y tengan un papel importante como el responsable del conocimiento, en medidor de tiempo, el secretario y responsable de entregar trabajos, tomando en cuenta que todos deben tener en sus cuadernos  su material correspondiente, se apoyarán entre todos para poder entender los problemas pues de lo contrario no podrán revisar sus trabajos en clase con el sello o rubrica correspondiente, sabiendo que cada problema será cuestionado al equipo para ver como lo realizaron y será al azar su participación.

6. Se entregan copias de los problemas para cuaderno para resolver en equipos.

a) Calcula los lados y ángulos que faltan a los triángulos                                                       

                                                                                     A= 24.5⁰, B= 57.4⁰, b= 12.5, a= 6

                                                                                                                                                                       

                                                                                                                      

R.-  c=14.689, C= 98.1⁰                                           

b) A= 24.5⁰, B= 122.5⁰,  b= 12.2cm, a= 6cm

 
    R.- C=33^o,c=7.88cm

                                                                                 

c) Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos y trázalos, calculando los lados y ángulos que faltan.

• a= 50.28, A= 38⁰ 20´, C= 77⁰ 10´ 01”

                                                                             R.- B=64⁰29^´59”, b=74.16, c=79.04

• c= 35m, A= 36⁰ 24´, C= 44⁰ 35´

                                                                           R.- B= 99⁰1´, b=49.245m, a=29.588m

• b= 12.48ft, c= 9.48ft, B= 29⁰ 38´

                                                                   R.- A=128⁰18´21”,C=220⁰3´38”,a=19.8ft

d)      Los lados opuestos A y B están a los lados opuestos de un río. El punto C está a 200 yardas de A, el ángulo A= 87.5⁰, el ángulo C= 67.2⁰. ¿Cuál es la distancia entre A y B?

                                                                                                                          R= 431.42ft

7.  Tarea: Se trae una MAQUETA donde se observe la  aplicación de la Ley de Senos y de Cosenos, ésta será verificada previamente para su presentación.

DIA 3:

Se pide que se reúnan en equipos para resolver problemas.

Calcula los lados y ángulos que faltan a los triángulos            

                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

                                                                                 C= 57.4⁰, b= 12.5, a= 6

                                                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                                                         a= 7.9cm ,   B= 70.6⁰

                                      

                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                                                            

R.-A=45.207⁰,C=64.1925⁰,c=10.0218cm             R^.- c=10.556,B=86.0288⁰,A=36.5711⁰

3.   c= 15cm,  b= 12.2cm, a= 6cm

.TAREA:

5. Desde un punto se observan los extremos de un lago, el ángulo formado por las dos visuales es de 48⁰ 25´ y las distancias del punto a los extremos observados son, respectivamente 215 y 184m. Calcula la distancia que hay entre dichos extremos.

                                                                                  

6.Los lados opuestos A y B están a los lados opuestos de un río. El punto C está a 200 yardas de A, el ángulo A= 87.5⁰, el ángulo C= 67.2⁰. ¿Cuál s la distancia entre A y C?

DIA 4:

Aplicaciones prácticas

Aquí el alumno traerá sus propias aplicaciones de acuerdo a lo que haya investigado en campo, con evidencias fotográficas. Esto servirá como retroalimentación para su examen final.

Sin embargo daremos problemas de aplicación para que se resuelvan y se observen redacciones y ejemplos.

Los resultados de los siguientes problemas se darán en pizarrón de forma desordenada para que lleguen a ellos y se presentarán por medio de una columna para que elijan la respuesta correcta.

1. Los barcos A y B parten del puerto C a las 8 de la mañana, y viajan en direcciones que forman 120⁰ entre sí. ¿Qué tan apartados están ellos después de dos horas de viaje, si el barco A viaja a 25km/hr y el barco B a 15km/h?

 

2. Un lote triangular tiene de frente 40 y 70 metros en dos calles, y el tercer lado es de 60 metros de longitud ¿Qué ángulos forman las calles en la intersección A?

3. Un globo aéreo se encuentra sobre a una pista de 2,000 m de longitud, los ángulos de elevación del globo desde los extremos de la pista son 42⁰ y 63⁰. ¿Qué tan lejos está el globo del extremo más cercano?

4. Los puntos A y B están en los lados opuestos de un estanque, y son vistos desde el punto C. Si <C=30⁰, CA= 25m y CB= 30m.

a) ¿Qué tan apartados están A y B entre sí?

b) ¿Cuánto miden los <BAC y <ABC?

 

5. Una grúa se encuentra al final de un muelle y tiene un brazo de 25m de longitud que forma un ángulo de 122⁰ con el piso del muelle. El brazo está sostenido con un cable de 40m de largo desde el final del brazo hacia el muelle. ¿Cuánto se aleja la grúa del punto de sujeción del cable cuando éste está totalmente restirado?

Bloque VII

CIRCULO UNITARIO

BLOQUE VI

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE TRIANGULOS RECTANGULOS.

¿Cuántos métros recorre un punto en el borde de un CD durante la reproducción de una pieza que dura 2.3 minutos?

Instrucciones: Contesta el siguiente cuestionario apoyandote en el libro de René Jiménez de Matemáticas II.
1. Menciona cinco ejemplos y anexa su imágen sobre casos que muestren ángulos.
2. Ejemplifica diferentes unidades de medidas angulares.
3. Describe los diferentes sistemas de unidades para la medición de ángulos.

4. Menciona la descripción de radián y representa el circulo en tu cuaderno pegando un pedacito de listón sobre un arco que sea del mismo tamaño que su radio como lo establece la definicón de un radián.

5. Anota la equivalencia entre los sistemas cíclico al sexagesimal, de grados a radianes y viceversa.
6.¿Qué es trigonometría y ángulo?
7. ¿A qué tipos de triángulos aplican las funciones trigonométricas y cuáles son éstas seis funciones?
8. ¿Cuál es una función recíproca?

BLOQUE V. Investigación sobre Circunferencia

Investiga los siguientes conceptos anexando sus figuras o fórmulas correspondientes.
1. Anexa un colage donde intervengan circulos y/o circunferencias.
2. Circunferencia, circulo, radio, diámetro, tangente, secante, cueda y arco.
3. Ejemplifica un caso de la vida real donde intervenga una tangente.
4. Traza los siguientes ángulos en circunferencias, los nombres de las líneas que lo forman y sus  fórmulas:
a) Angulo central.
b) Angulo inscrito.
c) Angulo semi inscrito.
d) Angulo exterior.
e) Angulo interior.
11. Dibuja tres lineas tangentes en diferentes circulos, así como sus radios que se intersecten perpendicularmente con cada una de las tangentes y describe el teorema que aplica al caso y sus propiedades consecuentes.
12. Anota la formula de el perimetro de un circulo y calula tres perimetros, dando como datos tres radios.
13. Anota la formula de el área de un circulo y calcula la misma dados tres diametros.

Videos Poligonos

BLOQUE IV

ACTIVIDADES BLOQUE IV.

PARTE I.

I. Identifiquen cuales de las siguientes figuras corresponden a un polígono y cuáles no.

 

 

 

_____         _______     _______     ________ _______        ______

II. Consideren el número de lados y escriban el nombre que le corresponde a cada polígono. Observen los ejemplos.

 

a) 3 lados __triángulo__

d) 6 lados ____________

g) 9 lados ____________

j) 12 lados ____________

m) 15 lados ___________

p) 18 lados ___________

b) 4 lados ____________

e) 7 lados _________ __

h) __ lados __decágono__

k) 13 lados ____________

n) 16 lados ____________

q) 19 lados ____________

d) 5 lados ____________

f) 8 lados _________ __

i) 11 lados ___________

l) 14 lados ____________

o) 17 lados ____________

r) 20 lados __icoságono__

 

III. Observen las siguientes figuras e indiquen de qué tipo de polígono se trata, de acuerdo a su número de lados, medida de sus ángulos y la longitud de sus lados.

    __triángulo____             _____________            ____________

    __convexo____             _____________            ____________

    __irregular____             _____________            ____________

    _____________             _____________            ____________

    _____________             _____________            ____________

    _____________             _____________            ____________

    _____________             _____________            ____________

    _____________             _____________            ____________

    _____________             _____________            ____________

IV. Completa el crucigrama:

1: Recta que une dos vértices no consecutivos

2: Polígono de cuatro lados

3: Polígono con todos sus lados iguales

4: Porción cerrada del plano delimitada por rectas que se cortan

5: Cuadrilátero con sólo 2 lados paralelos

6: Triángulo con sólo dos lados iguales

7: Segmento perpendicular al lado desde el centro del polígono

8: Cuadrilátero de lados opuestos paralelos

 

 

 

 

V. Identifica los elementos de un polígono

    Observando el dibujo contesta a estas preguntas:

El punto A es...
El segment AB es...
El segmento AC es...
El segmento AD es...
El punto D es...
El segment AE es...
El punto B es...
El punto C es...
El segment CD es...
El segment BE es...
El segmento BC es...
El segmento CA es...

 

En el siguiente hexágono regular identificar lo siguiente:

                        a) Los lados        b) Los vértices

                        c) La apotema     d) Un ángulo central

                        e) Un ángulo interior

Resuelva los siguientes ejercicios:

1. Hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

2. Hallar la suma de los ángulos interiores de un octágono.

3. Hallar la suma de los ángulos interiores de un pentágono.

4. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es igual a 540°?

5. ¿cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es igual a 1260°?

6. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es iguala a 1800°?

7. Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.

8. Hallar el valor de un ángulo interior de un dodecágono regular.

9. Hallar el valor de un ángulo interior de un decágono regular.

10. Hallar el valor de un ángulo interior de un heptágono regular.

11. Hallar la medida de un ángulo central de un pentágono regular.

12. Hallar la medida de un ángulo interior de un pentágono regular.

13. Calcular el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide 108°.

14. Hallar el valor de x y y en el siguiente paralelogramo.

 

 

15. Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras.

a) Cuadrado Lado = 12.5 cm

b) Rectángulo Base= 17.4 cm Altura= 9.3 cm

c) Rombo Lado=? Diagonales 15 cm y 9.5 cm

d) Trapecio Bases 12.5m y 8.75 m Altura 6m

e) Pentágono Lado= 2.5m Apotema 1.72m

f) Octágono regular Lado = 6m Apotema = 5.24 m

16. Calcular la base de un rectángulo que tiene un área de 195 m² de área y su altura mide 7.5 m.

17. Calcular el ancho de un rectángulo que tiene un área de 62.5 m² de área y 12.5 m de largo.

18. Calcular el perímetro y el área de un trapecio isósceles si sus bases miden 14m y 8m, y cada uno de sus lados iguales mide 5m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Videos semejanza, Tales y Pitágoras

Practica de examen bloque III

REPASO Y PRACTICA DE EXAMEN DEL BLOQUE III

SEMEJANZA DE TRIANGULOS, TEOREMA DE TALES DE MILETO Y TEOREMA DE PITAGORAS

 

SEMEJANZA DE TRIANGULOS.

 

 

 

 

 

 

 

1. En cada uno de los siguientes postulados ejemplifica con triángulos semejantes y anota sus datos.
   

   
    

1. Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente iguales sus tres ángulos correspondientes.
   
2. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que o forman son proporcionales.
   
3. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados homólogos proporcionales.
   

Resuelve:

1. Pedro quiere la altura de una antena, ayudado del reflejo que se hace en un charco de agua. ¿Qué altura tienen la antena?
   

 

1. Determina la altura del farol con respecto a Alicia.
   

1. Determina la altura del edificio con ayuda del triángulo rectángulo isósceles.
   

1. Calcula la distancia que separa a las dos estatuas con ayuda de los triángulos rectángulos
   

 

 

1. Calcula la distancia a la que se encuentra la embarcación del faro.
   

40m 2m

5m

TEOREMA DE TALES DE MILETO.

1. Resuelve las siguientes situaciones y problemas.
   

   
    

1. Las rectas p, q y r son paralelas, determina el valor de x
   

15 x

 

12

P q 28 r

1. Las rectas a, b y c son paralelas, calcula el valor de y.
   

a

75 y

b

135 125

c

1. Calcula los valores de x, y y z.
   

28 x

y

z 6 z

1. Calcula las dimensiones de un triángulo que tiene una diagonal de 48m sabiendo que es semejante al otro triángulo de lados 20 y 25m.
   

 

 

 

 

1. Para sostener verticalmente un poste se requiere varios cables que van sujetos de la parte mas alta del poste al piso. Sin embargo para tenzar el cable es necesario utilizar soportes que se colocan a la mitad de la distancia de la base del poste y del soporte en el piso. Si cada soporte mide 12.5m, ¿qué altura tiene el poste?
   

 

 

 

 

TEOREMA DE PITAGORAS.

1. Investiga la biografía de Pitágoras y resuelve.
   

   
    

1. Para contener los posibles desbordamientos de cierto río, se han construido un talud cuyo corte transversal y medidas se muestran en la figura. Determina la medida del lado inclinado de la construcción. 2m
   

4m

6m

1. Determina el perímetro del pentágono.
   

b 24cm b

a a 10cm

12cm

1. Determina la diagonal del cuadrado de la figura.
   

   
   

20u

 

20u

1. Los lados de un triángulo rectángulo están dados por las expresiones: x, x-7 y x+1, respectivamente. Determina el valor numérico de su perímetro.
   

x-1 x+1

 

x

1. La diagonal de un cuadrado mide 20cm, ¿cuánto mide su área?
   

 

20cm

 

1. Determina la medida del apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 60cm.
   

 

60cm

PRACTICA EXAMEN BLOQUE I Y II

DESARROLLA LO QUE SE TE PIDE EN TU CUADERNO.
1. Dibuja un caso de la naturaleza donde observes geometría.
2. Traza un ángulo de 270 grados partiendo de una semirecta, enseguida un ángulo consecutivo o adyacente de 10 grados.
3. Cúal de los anteriores es agudo y cuál obtuso.
4. Cuánto vale el complementario de 10 y cuánto el suplementario de este mismo.
5. Traza dos líneas donde indiques dos ángulos opuestos por el vértice que midan 40 grados y calcula cuanto valen los ángulos faltantes, adyacentes al vértice.
6. Traza ángulos alternos internos y menciona si son iguales.
7. Si un ángulo de 2x es complementario de 3x. Cuánto miden estos ángulos.
8. Si al sumar dos ángulos que completan un suplementarios, uno mide 3x+2 y el otro 2x-1.Cuánto valen estos ángulos.
9. Traza un ángulo de lado 3.5cm que sea equilátero.
10. Construye un triángulo isósceles con su lado menor de 4cm.
11. Traza un triángulo escaleno y mide sus ángulos.
12.De un triángulo rectángulo donde solo sabes un ángulo de 25 grados. trazalo y anota sus ángulos exteriores.
13. Describe las tres propiedades de los trioángulos con respecto a sus ángulos.
14. Menciona los tres criterios de congruencia de un triángulo y construye sus un ejemplo en cada caso anotando sus datos que le dieron origen.
15. Escribe el significado de congruencia.

Nota.- Lleva este cuestionario sin resolver mañana miercoles 9 de febrero.

CUESTIONARIO BLOQUE I

CLIKhttps://docs.google.com/document/d/1vC0xUWtJVGHuTQB123LfIXzofV1GBKLbvTpowLnX3mg/edit?hl=en&authkey=CLv_7e8K

CONTENIDO

BLOQUE I

1. Clasifica los ángulos.
   
   1. Por la posición de sus lados
      
   2. Por la suma de sus medidas
      
2. Define y clasifica los triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos
   

BLOQUE II

2.1 Enuncia los criterios de congruencia de los triángulos

2.2 Comprende la relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes

BLOQUE III

3.1 Identifica las características de triángulos semejantes.

3.2 Enuncia y comprende los criterios de semejanza de triángulos.

3.3 Enuncia y comprende el Teorema de Tales.

3.4 Enuncia y comprende el Teorema de Pitágoras.

3.5 Describe relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa al trazar la altura sobre ésta.

BLOQUE IV

4.1 Clasifica polígonos.

4.2 Reconoce las propiedades y elementos de los polígonos.

4.3 Reconoce las relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares.

BLOQUE V

5.1 Describe las propiedades de los elementos de la circunferencia.

5.2 Identifica las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia.

BLOQUE VI

6.1 Identifica diferentes unidades de medida de ángulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas.

6.2 Define y describe las funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos.

6.3 Caracteriza los valores de las funciones trigonométricas para 30,45 60 grados y múltiplos de 15 grados, utilizando triángulos.

BLOQUE VII

7.1 Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano.

7.2 Ubica el ángulo de referencia para ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV.

7.3 Reconoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario como funciones de un segmento.

7.4 Distingue el comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

BLOQUE VIII

8.1 Identifica las Leyes de senos y cosenos así como los elementos necesarios para la aplicación de una u otra.

BLOQUE IX

9.1 Identifica las medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

9.2 Describe las características de las medidas de tendencia central.

9.3 Identifica las medidas de dispersión: rango, varianza y desviación típica para datos agrupados por clases.

9.4 Ubica las características de las medidas de dispersión.

BLOQUE X

10.1 Distingue entre eventos deterministas y aleatorios.

10.2 Describe el espacio muestral de diversos tipos de eventos.

10.3 Define la probabilidad clásica de un evento aleatorio.

10.4 Define y escribe la probabilidad de eventos compuestos por medio de las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.

 

BIBLIOGRAFIA.

Matemáticas II de René Jiménez. Matemáticas II de Juan Antonio Cuéllar. Matemáticas II de Arturo Méndez Hinojos. Matemáticas II de Alfonso Arriaga, Marcos Benítez y Leonardo Ramírez.

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA (ÁNGULOS)

CALIFICACIONES 2011 A

Video de lineas paralelas y una secante

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Tipos de ángulos y sus sistemas de medición

ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS EN UN TRIÁNGULO

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